Moving Average Forecasting Introdução. Como você pode imaginar, estamos olhando para algumas das abordagens mais primitivas para a previsão. Mas espero que estas sejam pelo menos uma introdução interessante a algumas das questões de computação relacionadas à implementação de previsões em planilhas. Neste sentido, vamos continuar a partir do início e começar a trabalhar com previsões de média móvel. Previsões médias móveis. Todo mundo está familiarizado com as previsões de média móvel, independentemente de eles acreditam que são. Todos os estudantes universitários fazê-los o tempo todo. Pense nas suas pontuações dos testes num curso em que vai ter quatro testes durante o semestre. Vamos supor que você tem um 85 em seu primeiro teste. O que você poderia prever para sua pontuação do segundo teste O que você acha que seu professor iria prever para a sua próxima pontuação de teste O que você acha que seus amigos podem prever para a sua próxima pontuação de teste O que você acha que seus pais podem prever para sua pontuação próxima teste Independentemente de Todo o blabbing você pôde fazer a seus amigos e pais, eles e seu professor são muito prováveis esperar que você comece algo na área do 85 que você começou apenas. Bem, agora vamos supor que, apesar de sua auto-promoção para seus amigos, você superestimar-se e figura que você pode estudar menos para o segundo teste e assim você começa um 73. Agora o que são todos os interessados e despreocupado vai Antecipar você vai chegar em seu terceiro teste Existem duas abordagens muito provável para que eles desenvolvam uma estimativa, independentemente de se eles vão compartilhar com você. Eles podem dizer a si mesmos: "Esse cara está sempre soprando fumaça sobre suas espertinas. Hes que vai obter outro 73 se hes afortunado. Talvez os pais tentem ser mais solidários e dizer: "Bem, até agora você tem obtido um 85 e um 73, então talvez você deve figura em obter cerca de um (85 73) / 2 79. Eu não sei, talvez se você fez menos Festejando e werent abanando a doninhas em todo o lugar e se você começou a fazer muito mais estudando você poderia obter uma pontuação mais alta. quot Ambas as estimativas são, na verdade, média móvel previsões. O primeiro é usar apenas sua pontuação mais recente para prever o seu desempenho futuro. Isso é chamado de média móvel usando um período de dados. A segunda também é uma média móvel, mas usando dois períodos de dados. Vamos supor que todas essas pessoas rebentando em sua grande mente têm tipo de puto você fora e você decidir fazer bem no terceiro teste para suas próprias razões e colocar uma pontuação mais alta na frente de seus quotalliesquot. Você toma o teste e sua pontuação é realmente um 89 Todos, incluindo você mesmo, está impressionado. Então agora você tem o teste final do semestre chegando e, como de costume, você sente a necessidade de incitar todo mundo a fazer suas predições sobre como você vai fazer no último teste. Bem, espero que você veja o padrão. Agora, espero que você possa ver o padrão. Qual você acha que é o apito mais preciso enquanto trabalhamos. Agora vamos voltar para a nossa nova empresa de limpeza iniciada por sua meia irmã distante chamado Whistle While We Work. Você tem alguns dados de vendas anteriores representados na seção a seguir de uma planilha. Primeiro, apresentamos os dados para uma previsão média móvel de três períodos. A entrada para a célula C6 deve ser Agora você pode copiar esta fórmula de célula para baixo para as outras células C7 a C11. Observe como a média se move sobre os dados históricos mais recentes, mas usa exatamente os três períodos mais recentes disponíveis para cada previsão. Você também deve notar que nós realmente não precisamos fazer as previsões para os períodos passados, a fim de desenvolver a nossa previsão mais recente. Isto é definitivamente diferente do modelo de suavização exponencial. Ive incluído o quotpast previsões, porque vamos usá-los na próxima página da web para medir a validade de previsão. Agora eu quero apresentar os resultados análogos para uma previsão média móvel de dois períodos. A entrada para a célula C5 deve ser Agora você pode copiar esta fórmula de célula para baixo para as outras células C6 a C11. Observe como agora apenas as duas mais recentes peças de dados históricos são utilizados para cada previsão. Mais uma vez incluí as previsões quotpast para fins ilustrativos e para uso posterior na validação de previsão. Algumas outras coisas que são de importância notar. Para uma previsão média móvel de m-período, apenas os m valores de dados mais recentes são usados para fazer a previsão. Nada mais é necessário. Para uma previsão média móvel do período m, ao fazer previsões quotpast, note que a primeira predição ocorre no período m 1. Ambas as questões serão muito significativas quando desenvolvemos nosso código. Desenvolvendo a função de média móvel. Agora precisamos desenvolver o código para a previsão da média móvel que pode ser usado de forma mais flexível. O código segue. Observe que as entradas são para o número de períodos que você deseja usar na previsão ea matriz de valores históricos. Você pode armazená-lo em qualquer pasta de trabalho que você deseja. Função MovingAverage (Histórico, NumberOfPeriods) Como Único Declarar e inicializar variáveis Dim Item Como variante Dim Counter Como Inteiro Dim Acumulação como único Dim HistoricalSize As Inteiro Inicializando variáveis Counter 1 Acumulação 0 Determinando o tamanho da Historical array HistoricalSize Historical. Count For Counter 1 To NumberOfPeriods Acumulando o número apropriado dos valores mais recentes anteriormente observados Acumulação Acumulação Histórico (HistoricalSize - NumberOfPeriods Counter) MovingAverage Acumulação / NumberOfPeriods O código será explicado na classe. Você quer posicionar a função na planilha para que o resultado da computação apareça onde ele deve gostar do seguinte. Na prática, a média móvel fornecerá uma boa estimativa da média das séries temporais se a média for constante ou mudar lentamente. No caso de uma média constante, o maior valor de m dará as melhores estimativas da média subjacente. Um período de observação mais longo medirá os efeitos da variabilidade. O objetivo de fornecer um m menor é permitir que a previsão responda a uma mudança no processo subjacente. Para ilustrar, propomos um conjunto de dados que incorpora mudanças na média subjacente das séries temporais. A figura mostra a série de tempo usada para ilustração juntamente com a demanda média a partir da qual a série foi gerada. A média começa como uma constante em 10. Começando no tempo 21, ele aumenta em uma unidade em cada período até atingir o valor de 20 no tempo 30. Então ele se torna constante novamente. Os dados são simulados adicionando à média um ruído aleatório de uma distribuição Normal com média zero e desvio padrão 3. Os resultados da simulação são arredondados para o número inteiro mais próximo. A tabela mostra as observações simuladas usadas para o exemplo. Quando usamos a tabela, devemos lembrar que a qualquer momento, apenas os dados passados são conhecidos. As estimativas do parâmetro do modelo, para três valores diferentes de m, são mostradas juntamente com a média das séries temporais na figura abaixo. A figura mostra a estimativa média móvel da média em cada momento e não a previsão. As previsões mudariam as curvas da média móvel para a direita por períodos. Uma conclusão é imediatamente aparente a partir da figura. Para as três estimativas, a média móvel está aquém da tendência linear, com o atraso aumentando com m. O atraso é a distância entre o modelo ea estimativa na dimensão temporal. Devido ao atraso, a média móvel subestima as observações à medida que a média está aumentando. O viés do estimador é a diferença em um tempo específico no valor médio do modelo eo valor médio predito pela média móvel. O viés quando a média está aumentando é negativo. Para uma média decrescente, o viés é positivo. O atraso no tempo e o viés introduzido na estimativa são funções de m. Quanto maior o valor de m. Maior a magnitude do atraso e do viés. Para uma série de crescimento contínuo com tendência a. Os valores de lag e viés do estimador da média são dados nas equações abaixo. As curvas de exemplo não correspondem a essas equações porque o modelo de exemplo não está aumentando continuamente, em vez disso, ele começa como uma constante, muda para uma tendência e, em seguida, torna-se constante novamente. Também as curvas de exemplo são afetadas pelo ruído. A previsão média móvel de períodos no futuro é representada deslocando as curvas para a direita. O atraso e o viés aumentam proporcionalmente. As equações abaixo indicam o atraso e o viés de um período de previsão para o futuro quando comparado aos parâmetros do modelo. Novamente, essas fórmulas são para uma série de tempo com uma tendência linear constante. Não devemos nos surpreender com esse resultado. O estimador da média móvel baseia-se no pressuposto de uma média constante, eo exemplo tem uma tendência linear na média durante uma parte do período do estudo. Como as séries de tempo real raramente obedecerão exatamente aos pressupostos de qualquer modelo, devemos estar preparados para tais resultados. Podemos também concluir a partir da figura que a variabilidade do ruído tem o maior efeito para m menor. A estimativa é muito mais volátil para a média móvel de 5 do que a média móvel de 20. Temos os desejos conflitantes de aumentar m para reduzir o efeito da variabilidade devido ao ruído e diminuir m para tornar a previsão mais sensível às mudanças Em média O erro é a diferença entre os dados reais e o valor previsto. Se a série temporal é verdadeiramente um valor constante, o valor esperado do erro é zero ea variância do erro é composta por um termo que é uma função de e um segundo termo que é a variância do ruído,. O primeiro termo é a variância da média estimada com uma amostra de m observações, assumindo que os dados provêm de uma população com média constante. Este termo é minimizado fazendo-se o maior possível. Um grande m faz com que a previsão não responda a uma mudança nas séries temporais subjacentes. Para tornar a previsão responsiva às mudanças, queremos que m seja o menor possível (1), mas isso aumenta a variância do erro. A previsão prática requer um valor intermediário. Previsão com o Excel O suplemento de Previsão implementa as fórmulas de média móvel. O exemplo abaixo mostra a análise fornecida pelo add-in para os dados da amostra na coluna B. As primeiras 10 observações são indexadas -9 a 0. Em comparação com a tabela acima, os índices de período são deslocados por -10. As primeiras dez observações fornecem os valores de inicialização para a estimativa e são usados para calcular a média móvel para o período 0. A coluna MA (10) (C) mostra as médias móveis calculadas. O parâmetro de média móvel m está na célula C3. A coluna Fore (1) (D) mostra uma previsão para um período no futuro. O intervalo de previsão está na célula D3. Quando o intervalo de previsão é alterado para um número maior, os números na coluna Fore são deslocados para baixo. A coluna Err (1) (E) mostra a diferença entre a observação e a previsão. Por exemplo, a observação no tempo 1 é 6. O valor previsto a partir da média móvel no tempo 0 é 11.1. O erro é então -5.1. O desvio padrão eo desvio médio médio (MAD) são calculados nas células E6 e E7, respectivamente.3 Entendendo Níveis de Previsão e Métodos Você pode gerar previsões de detalhe (item único) e previsões resumidas (linha de produtos) que refletem padrões de demanda de produto. O sistema analisa as vendas anteriores para calcular as previsões usando 12 métodos de previsão. As previsões incluem informações detalhadas no nível do item e informações de nível superior sobre uma filial ou a empresa como um todo. 3.1 Critérios de Avaliação do Desempenho da Previsão Dependendo da seleção das opções de processamento e das tendências e padrões nos dados de vendas, alguns métodos de previsão apresentam melhor desempenho do que outros para um determinado conjunto de dados históricos. Um método de previsão apropriado para um produto pode não ser apropriado para outro produto. Você pode achar que um método de previsão que fornece bons resultados em uma fase de um ciclo de vida do produto permanece apropriado ao longo de todo o ciclo de vida. Você pode selecionar entre dois métodos para avaliar o desempenho atual dos métodos de previsão: Porcentagem de precisão (POA). Desvio absoluto médio (MAD). Ambos os métodos de avaliação de desempenho exigem dados de vendas históricos para um período que você especificar. Esse período é chamado de período de retenção ou período de melhor ajuste. Os dados neste período são usados como base para recomendar qual método de previsão usar na realização da projeção de projeção seguinte. Esta recomendação é específica para cada produto e pode mudar de uma geração de previsão para a próxima. 3.1.1 Melhor Ajuste O sistema recomenda a melhor previsão de ajuste aplicando os métodos de previsão selecionados ao histórico de pedidos de vendas anteriores e comparando a simulação de previsão com o histórico real. Quando você gera uma previsão de melhor ajuste, o sistema compara históricos de pedidos de vendas reais com previsões para um período de tempo específico e calcula com que precisão cada método de previsão diferente previu vendas. Em seguida, o sistema recomenda a previsão mais precisa como o melhor ajuste. Este gráfico ilustra as melhores previsões de ajuste: Figura 3-1 Previsão de melhor ajuste O sistema usa esta seqüência de etapas para determinar o melhor ajuste: Use cada método especificado para simular uma previsão para o período de retenção. Compare as vendas reais com as previsões simuladas para o período de retenção. Calcule o POA ou o MAD para determinar qual método de previsão mais se aproxima das vendas reais passadas. O sistema usa POA ou MAD, com base nas opções de processamento selecionadas. Recomende uma melhor previsão de ajuste pelo POA que está mais próximo de 100 por cento (mais ou menos) ou o MAD que está mais próximo de zero. 3.2 Métodos de previsão O JD Edwards EnterpriseOne Forecast Management usa 12 métodos para previsão quantitativa e indica qual método fornece o melhor ajuste para a situação de previsão. Esta seção discute: Método 1: Percentagem em relação ao ano passado. Método 2: Percentagem calculada sobre o ano passado. Método 3: Ano passado para este ano. Método 4: Média móvel. Método 5: Aproximação linear. Método 6: Regressão de mínimos quadrados. Método 7: Aproximação do Segundo Grau. Método 8: Método Flexível. Método 9: Média Móvel Ponderada. Método 10: Suavização linear. Método 11: Suavização Exponencial. Método 12: suavização exponencial com tendência e sazonalidade. Especifique o método que você deseja usar nas opções de processamento do programa Forecast Generation (R34650). A maioria desses métodos fornece controle limitado. Por exemplo, o peso colocado em dados históricos recentes ou o intervalo de datas de dados históricos que é usado nos cálculos pode ser especificado por você. Os exemplos no guia indicam o procedimento de cálculo para cada um dos métodos de previsão disponíveis, dado um conjunto idêntico de dados históricos. Os exemplos de métodos no guia usam parte ou todos esses conjuntos de dados, que são dados históricos dos últimos dois anos. A projeção de previsão vai para o próximo ano. Os dados do histórico de vendas são estáveis, com pequenos aumentos sazonais em julho e dezembro. Esse padrão é característico de um produto maduro que pode estar se aproximando de obsolescência. 3.2.1 Método 1: Percentagem em relação ao ano passado Este método utiliza a fórmula Percentagem sobre o Ano Passado para multiplicar cada período de previsão pelo aumento ou diminuição percentual especificado. Para prever a demanda, este método requer o número de períodos para o melhor ajuste mais um ano de histórico de vendas. Este método é útil para prever a demanda por itens sazonais com crescimento ou declínio. 3.2.1.1 Exemplo: Método 1: Percentagem em relação ao ano passado A fórmula percentagem sobre o ano passado multiplica os dados de vendas do ano anterior por um fator que você especifica e, em seguida, projeta os resultados ao longo do próximo ano. Este método pode ser útil no orçamento para simular o efeito de uma taxa de crescimento especificada ou quando o histórico de vendas tem uma componente sazonal significativa. Especificações de previsão: Fator de multiplicação. Por exemplo, especifique 110 na opção de processamento para aumentar os dados do histórico de vendas dos anos anteriores em 10%. Histórico de vendas necessário: Um ano para o cálculo da previsão, mais o número de períodos necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste) que você especifica. Esta tabela é a história utilizada no cálculo da previsão: previsão de fevereiro é igual a 117 vezes 1,1 128,7 arredondado para 129. Previsão de março é igual a 115 vezes 1,1 126,5 arredondado para 127. 3.2.2 Método 2: Percentual calculado sobre o ano passado Este método usa a porcentagem calculada mais Fórmula do ano passado para comparar as vendas passadas de períodos especificados às vendas dos mesmos períodos do ano anterior. O sistema determina uma porcentagem de aumento ou diminuição e, em seguida, multiplica cada período pela porcentagem para determinar a previsão. Para prever a demanda, esse método requer o número de períodos do histórico de pedidos de vendas mais um ano de histórico de vendas. Este método é útil para prever a demanda de curto prazo para itens sazonais com crescimento ou declínio. 3.2.2.1 Exemplo: Método 2: Porcentagem calculada sobre o ano passado A fórmula calculada sobre o ano passado multiplica os dados de vendas do ano anterior por um fator que é calculado pelo sistema e, em seguida, projeta esse resultado para o próximo ano. Este método pode ser útil para projetar o efeito de estender a taxa de crescimento recente de um produto para o próximo ano, preservando um padrão sazonal que está presente no histórico de vendas. Especificações de previsão: Faixa de história de vendas para usar no cálculo da taxa de crescimento. Por exemplo, especifique n igual a 4 na opção de processamento para comparar o histórico de vendas dos últimos quatro períodos com esses mesmos quatro períodos do ano anterior. Use a razão calculada para fazer a projeção para o próximo ano. Histórico de vendas necessário: Um ano para calcular a previsão mais o número de períodos necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história utilizada no cálculo da previsão, dado n 4: previsão de fevereiro é igual a 117 vezes 0,9766 114,26 arredondado para 114. Previsão de março é igual a 115 vezes 0,9766 112,31 arredondado para 112. 3.2.3 Método 3: Ano passado para este ano Este método usa Vendas nos últimos anos para os próximos anos. Para prever a demanda, esse método requer o número de períodos melhor ajustados mais um ano do histórico de pedidos de vendas. Este método é útil para prever a demanda por produtos maduros com demanda de nível ou demanda sazonal sem uma tendência. 3.2.3.1 Exemplo: Método 3: Ano passado a este ano A fórmula do ano passado para este ano copia os dados de vendas do ano anterior para o ano seguinte. Este método pode ser útil no orçamento para simular vendas no nível atual. O produto é maduro e não tem tendência a longo prazo, mas pode existir um padrão de demanda sazonal significativo. Especificações de previsão: Nenhuma. Histórico de vendas necessário: Um ano para calcular a previsão mais o número de períodos necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história utilizada no cálculo da previsão: Previsão de janeiro é igual a janeiro do ano passado com um valor de previsão de 128. Previsão de fevereiro é igual a fevereiro do ano passado com um valor de previsão de 117. Previsão de março é igual a março do ano passado com um valor de previsão de 115. 3.2.4 Método 4: Média móvel Este método usa a fórmula Média Móvel para a média do número especificado de períodos para projetar o próximo período. Você deve recalcular-lo muitas vezes (mensal, ou pelo menos trimestral) para refletir a mudança do nível de demanda. Para prever a demanda, esse método requer o número de períodos mais adequados mais o número de períodos do histórico de pedidos de vendas. Este método é útil para prever a demanda por produtos maduros sem uma tendência. 3.2.4.1 Exemplo: Método 4: Moving Average Moving Average (MA) é um método popular para calcular a média dos resultados do histórico de vendas recente para determinar uma projeção para o curto prazo. O método de previsão MA está atrás das tendências. O viés de previsão e os erros sistemáticos ocorrem quando o histórico de vendas do produto exibe tendências fortes ou padrões sazonais. Este método funciona melhor para previsões de curto prazo de produtos maduros do que para produtos que estão em estágios de crescimento ou obsolescência do ciclo de vida. Especificações de previsão: n é igual ao número de períodos do histórico de vendas a ser usado no cálculo da previsão. Por exemplo, especifique n 4 na opção de processamento para usar os quatro períodos mais recentes como base para a projeção para o próximo período de tempo. Um valor grande para n (como 12) requer mais histórico de vendas. Isso resulta em uma previsão estável, mas é lento para reconhecer mudanças no nível de vendas. Por outro lado, um pequeno valor para n (como 3) é mais rápido para responder a mudanças no nível de vendas, mas a previsão pode flutuar tão amplamente que a produção não pode responder às variações. Histórico de vendas necessário: n mais o número de períodos de tempo necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história usada no cálculo da previsão: Previsão de fevereiro é igual a (114 119 137 125) / 4 123.75 arredondado para 124. Previsão de março é igual a (119 137 125 124) / 4 126,25 arredondado para 126. 3.2.5 Método 5: Aproximação Linear Esse método usa a fórmula de aproximação linear para calcular uma tendência do número de períodos do histórico de pedidos de vendas e projetar essa tendência para a previsão. Você deve recalcular a tendência mensalmente para detectar mudanças nas tendências. Esse método requer o número de períodos de melhor ajuste mais o número de períodos especificados do histórico de pedidos de vendas. Este método é útil para prever a procura de novos produtos, ou produtos com tendências positivas ou negativas consistentes que não são devidas a flutuações sazonais. 3.2.5.1 Exemplo: Método 5: Aproximação linear A aproximação linear calcula uma tendência que se baseia em dois pontos de dados do histórico de vendas. Esses dois pontos definem uma linha de tendência reta projetada para o futuro. Use esse método com cautela porque as previsões de longo alcance são alavancadas por pequenas alterações em apenas dois pontos de dados. Especificações de previsão: n é igual ao ponto de dados no histórico de vendas comparado ao ponto de dados mais recente para identificar uma tendência. Por exemplo, especifique n 4 para usar a diferença entre dezembro (dados mais recentes) e agosto (quatro períodos antes de dezembro) como base para o cálculo da tendência. Histórico de vendas mínimo necessário: n mais 1 mais o número de períodos de tempo necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história usada no cálculo da previsão: Previsão de janeiro de dezembro do ano passado 1 (Tendência) que é igual a 137 (1 vez 2) 139. Previsão de fevereiro de dezembro do ano passado 1 (Tendência), que é igual a 137 (2 vezes 2) 141. Previsão de março de dezembro do ano passado 1 (Tendência) que é igual a 137 (3 vezes 2) 143. 3.2.6 Método 6: Regressão de mínimos quadrados O método de regressão de mínimos quadrados (LSR) deriva uma equação descrevendo uma relação de linha reta entre os dados históricos de vendas E a passagem do tempo. LSR ajusta uma linha para o intervalo de dados selecionado de modo que a soma dos quadrados das diferenças entre os pontos de dados de vendas reais e a linha de regressão são minimizados. A previsão é uma projeção dessa linha reta para o futuro. Esse método requer histórico de dados de vendas para o período que é representado pelo número de períodos melhor ajustado mais o número especificado de períodos de dados históricos. O requisito mínimo é dois pontos de dados históricos. Esse método é útil para prever a demanda quando uma tendência linear está nos dados. 3.2.6.1 Exemplo: Método 6: regressão linear de regressão de mínimos quadrados ou regressão de mínimos quadrados (LSR), é o método mais popular para identificar uma tendência linear nos dados históricos de vendas. O método calcula os valores de aeb que devem ser usados na fórmula: Esta equação descreve uma reta, onde Y representa vendas e X representa tempo. Regressão linear é lenta para reconhecer pontos de viragem e deslocamentos de função de etapa na demanda. A regressão linear encaixa uma linha reta nos dados, mesmo quando os dados são sazonais ou melhor descritos por uma curva. Quando os dados do histórico de vendas seguem uma curva ou têm um forte padrão sazonal, ocorrem erros de previsão e sistemáticos. Especificações de previsão: n é igual aos períodos do histórico de vendas que serão usados no cálculo dos valores de aeb. Por exemplo, especifique n 4 para usar o histórico de setembro a dezembro como base para os cálculos. Quando os dados estiverem disponíveis, um n maior (como n 24) normalmente seria usado. LSR define uma linha para apenas dois pontos de dados. Para este exemplo, um pequeno valor para n (n 4) foi escolhido para reduzir os cálculos manuais que são necessários para verificar os resultados. Histórico de vendas mínimo exigido: n períodos mais o número de períodos de tempo necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história utilizada no cálculo da previsão: Previsão de março é igual a 119,5 (7 vezes 2,3) 135,6 arredondado para 136. 3.2.7 Método 7: Aproximação de Segundo Grau Para projetar a previsão, este método usa a fórmula de Aproximação de Segundo Grau para traçar uma curva Que se baseia no número de períodos do histórico de vendas. Este método requer o número de períodos melhor ajuste mais o número de períodos do histórico de pedidos de vendas vezes três. Esse método não é útil para prever a demanda por um período de longo prazo. 3.2.7.1 Exemplo: Método 7: Aproximação do Segundo Grau A Regressão Linear determina os valores para aeb na fórmula de previsão Y a b X com o objetivo de ajustar uma linha reta aos dados do histórico de vendas. A aproximação de segundo grau é semelhante, mas este método determina valores para a, b e c na fórmula de previsão: Y a b X c X 2 O objetivo deste método é ajustar uma curva aos dados do histórico de vendas. Este método é útil quando um produto está na transição entre os estágios do ciclo de vida. Por exemplo, quando um novo produto passa da introdução para os estádios de crescimento, a tendência de vendas pode acelerar. Devido ao termo de segunda ordem, a previsão pode aproximar-se rapidamente do infinito ou cair para zero (dependendo se o coeficiente c é positivo ou negativo). Este método é útil apenas no curto prazo. Especificações de previsão: a fórmula encontrar a, b e c para ajustar uma curva para exatamente três pontos. Você especifica n, o número de períodos de tempo de dados a serem acumulados em cada um dos três pontos. Neste exemplo, n 3. Os dados reais de vendas de abril a junho são combinados no primeiro ponto, Q1. Julho a setembro são adicionados em conjunto para criar Q2, e de outubro a dezembro somam para Q3. A curva é ajustada aos três valores Q1, Q2 e Q3. Histórico de vendas necessário: 3 vezes n períodos para o cálculo da previsão mais o número de períodos necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história utilizada no cálculo da previsão: Q0 (Jan) (Fev) (Mar) Q1 (Abr) (Maio) (Jun), que é igual a 125 129 137 384 Q2 (Jul) (Agosto) 131 400 Q3 (Oct) (Nov) (Dec) que é igual a 114 119 137 370 O próximo passo envolve o cálculo dos três coeficientes a, b e c a serem usados na fórmula de previsão Y ab X c X 2. Q1, Q2 e Q3 são apresentados no gráfico, onde o tempo é plotado no eixo horizontal. Q1 representa o total de vendas históricas para abril, maio e junho e é plotada em X 1 Q2 corresponde a julho a setembro Q3 corresponde a outubro a dezembro e Q4 representa janeiro a março. Este gráfico ilustra o traçado de Q1, Q2, Q3 e Q4 para a aproximação de segundo grau: Figura 3-2 Plotando Q1, Q2, Q3 e Q4 para aproximação de segundo grau Três equações descrevem os três pontos no gráfico: (1) Q1 A bX cX 2 onde X 1 (Q1 abc) (2) Q2 a bX cX 2 onde X 2 (Q2 a 2b 4c) (3) Q3 a bX cX 2 onde X 3 (Q3 a 3b 9c) Resolva as três equações simultaneamente Para encontrar b, ae c: Subtraia a equação 1 (1) da equação 2 (2) e resolva para b: (2) ndash (1) Q2 ndash Q1 b 3c b (Q2 ndash Q1) ndash 3c Substituir esta equação para B na equação (3): (3) Q3 a 3 (Q2 ndash Q1) ndash 3c 9c a Q3 ndash 3 (Q2 ndash Q1) Finalmente, substitua essas equações por aeb pela equação (1): (1) Q3 ndash O método de Aproximação de Segundo Grau calcula a, b e c da seguinte forma: a Q3 ndash 3 (Q2 ndash Q1) (Q2 ndash Q1) ndash 3c c Q1 c (Q3 ndash Q2) Q1) 370 ndash 3 (400 ndash 384) 370 ndash 3 (16) 322 b (Q2 ndash Q1) ndash3c (400 ndash 384) ndash (3 vezes ndash23) 16 69 85 c (Q3 ndash Q2) 2 (370 ndash 400) (384 ndash 400) / 2 ndash23 Este é um cálculo de aproximação de segundo grau de previsão: Y a bX cX 2 322 85X (ndash23) (X2) Quando X4, Q4 322 340 ndash 368 294. A Previsão é igual a 294/3 98 por período. Quando X5, Q5 322 425 ndash 575 172. A previsão é igual a 172/3 58,33 arredondada para 57 por período. Quando X 6, Q 6 322 510 ndash 828 4. A previsão é igual a 4/3 1,33 arredondado para 1 por período. 3.2.8 Método 8: Método flexível Este método permite selecionar o melhor número de períodos do histórico de pedidos de vendas que começa n meses antes da data de início prevista e para Aplicar um aumento percentual ou diminuir o fator de multiplicação com o qual modificar a previsão. Esse método é semelhante ao método 1, porcentagem sobre o ano passado, exceto que você pode especificar o número de períodos que você usar como a base. Dependendo do que você selecionar como n, esse método requer períodos melhor ajuste mais o número de períodos de dados de vendas que é indicado. Esse método é útil para prever a demanda por uma tendência planejada. 3.2.8.1 Exemplo: Método 8: Método Flexível O Método Flexível (Percentagem sobre n Meses Anterior) é semelhante ao Método 1, Percentual em relação ao Ano Passado. Ambos os métodos multiplicam os dados de vendas de um período de tempo anterior por um fator especificado por você e, em seguida, projetam esse resultado para o futuro. No método Percent Over Last Year, a projeção é baseada em dados do mesmo período do ano anterior. Você também pode usar o Método Flexível para especificar um período de tempo, diferente do mesmo período no último ano, para usar como base para os cálculos. Fator de multiplicação. Por exemplo, especifique 110 na opção de processamento para aumentar os dados do histórico de vendas anteriores em 10%. Período de base. Por exemplo, n 4 faz com que a primeira previsão se baseie em dados de vendas em setembro do ano passado. Histórico de vendas mínimo exigido: o número de períodos de volta ao período base mais o número de períodos necessários para avaliar o desempenho da previsão (períodos de melhor ajuste). Esta tabela é a história usada no cálculo da previsão: 3.2.9 Método 9: Média Móvel Ponderada A fórmula Média Móvel Ponderada é semelhante ao Método 4, fórmula Média Móvel, porque média o histórico de vendas dos meses anteriores para projetar o histórico de vendas dos próximos meses. No entanto, com esta fórmula você pode atribuir pesos para cada um dos períodos anteriores. Este método requer o número de períodos ponderados selecionados mais o número de períodos melhores dados de ajuste. Similar to Moving Average, this method lags behind demand trends, so this method is not recommended for products with strong trends or seasonality. This method is useful to forecast demand for mature products with demand that is relatively level. 3.2.9.1 Example: Method 9: Weighted Moving Average The Weighted Moving Average (WMA) method is similar to Method 4, Moving Average (MA). However, you can assign unequal weights to the historical data when using WMA. The method calculates a weighted average of recent sales history to arrive at a projection for the short term. More recent data is usually assigned a greater weight than older data, so WMA is more responsive to shifts in the level of sales. However, forecast bias and systematic errors occur when the product sales history exhibits strong trends or seasonal patterns. This method works better for short range forecasts of mature products than for products in the growth or obsolescence stages of the life cycle. The number of periods of sales history (n) to use in the forecast calculation. For example, specify n 4 in the processing option to use the most recent four periods as the basis for the projection into the next time period. A large value for n (such as 12) requires more sales history. Such a value results in a stable forecast, but it is slow to recognize shifts in the level of sales. Conversely, a small value for n (such as 3) responds more quickly to shifts in the level of sales, but the forecast might fluctuate so widely that production cannot respond to the variations. The weight that is assigned to each of the historical data periods. The assigned weights must total 1.00. For example, when n 4, assign weights of 0.50, 0.25, 0.15, and 0.10 with the most recent data receiving the greatest weight. Minimum required sales history: n plus the number of time periods that are required for evaluating the forecast performance (periods of best fit). This table is history used in the forecast calculation: January forecast equals (131 times 0.10) (114 times 0.15) (119 times 0.25) (137 times 0.50) / (0.10 0.15 0.25 0.50) 128.45 rounded to 128. February forecast equals (114 times 0.10) (119 times 0.15) (137 times 0.25) (128 times 0.50) / 1 127.5 rounded to 128. March forecast equals (119 times 0.10) (137 times 0.15) (128 times 0.25) (128 times 0.50) / 1 128.45 rounded to 128. 3.2.10 Method 10: Linear Smoothing This method calculates a weighted average of past sales data. In the calculation, this method uses the number of periods of sales order history (from 1 to 12) that is indicated in the processing option. The system uses a mathematical progression to weigh data in the range from the first (least weight) to the final (most weight). Then the system projects this information to each period in the forecast. This method requires the months best fit plus the sales order history for the number of periods that are specified in the processing option. 3.2.10.1 Example: Method 10: Linear Smoothing This method is similar to Method 9, WMA. However, instead of arbitrarily assigning weights to the historical data, a formula is used to assign weights that decline linearly and sum to 1.00. The method then calculates a weighted average of recent sales history to arrive at a projection for the short term. Like all linear moving average forecasting techniques, forecast bias and systematic errors occur when the product sales history exhibits strong trend or seasonal patterns. This method works better for short range forecasts of mature products than for products in the growth or obsolescence stages of the life cycle. n equals the number of periods of sales history to use in the forecast calculation. For example, specify n equals 4 in the processing option to use the most recent four periods as the basis for the projection into the next time period. The system automatically assigns the weights to the historical data that decline linearly and sum to 1.00. For example, when n equals 4, the system assigns weights of 0.4, 0.3, 0.2, and 0.1, with the most recent data receiving the greatest weight. Minimum required sales history: n plus the number of time periods that are required for evaluating the forecast performance (periods of best fit). This table is history used in the forecast calculation: 3.2.11 Method 11: Exponential Smoothing This method calculates a smoothed average, which becomes an estimate representing the general level of sales over the selected historical data periods. This method requires sales data history for the time period that is represented by the number of periods best fit plus the number of historical data periods that are specified. The minimum requirement is two historical data periods. This method is useful to forecast demand when no linear trend is in the data. 3.2.11.1 Example: Method 11: Exponential Smoothing This method is similar to Method 10, Linear Smoothing. In Linear Smoothing, the system assigns weights that decline linearly to the historical data. In Exponential Smoothing, the system assigns weights that exponentially decay. The equation for Exponential Smoothing forecasting is: Forecast alpha (Previous Actual Sales) (1 ndashalpha) (Previous Forecast) The forecast is a weighted average of the actual sales from the previous period and the forecast from the previous period. Alpha is the weight that is applied to the actual sales for the previous period. (1 ndash alpha) is the weight that is applied to the forecast for the previous period. Values for alpha range from 0 to 1 and usually fall between 0.1 and 0.4. The sum of the weights is 1.00 (alpha (1 ndash alpha) 1). You should assign a value for the smoothing constant, alpha. If you do not assign a value for the smoothing constant, the system calculates an assumed value that is based on the number of periods of sales history that is specified in the processing option. alpha equals the smoothing constant that is used to calculate the smoothed average for the general level or magnitude of sales. Values for alpha range from 0 to 1. n equals the range of sales history data to include in the calculations. Generally, one year of sales history data is sufficient to estimate the general level of sales. For this example, a small value for n (n 4) was chosen to reduce the manual calculations that are required to verify the results. Exponential Smoothing can generate a forecast that is based on as little as one historical data point. Minimum required sales history: n plus the number of time periods that are required for evaluating the forecast performance (periods of best fit). This table is history used in the forecast calculation: 3.2.12 Method 12: Exponential Smoothing with Trend and Seasonality This method calculates a trend, a seasonal index, and an exponentially smoothed average from the sales order history. The system then applies a projection of the trend to the forecast and adjusts for the seasonal index. This method requires the number of periods best fit plus two years of sales data, and is useful for items that have both trend and seasonality in the forecast. You can enter the alpha and beta factor, or have the system calculate them. Alpha and beta factors are the smoothing constant that the system uses to calculate the smoothed average for the general level or magnitude of sales (alpha) and the trend component of the forecast (beta). 3.2.12.1 Example: Method 12: Exponential Smoothing with Trend and Seasonality This method is similar to Method 11, Exponential Smoothing, in that a smoothed average is calculated. However, Method 12 also includes a term in the forecasting equation to calculate a smoothed trend. The forecast is composed of a smoothed average that is adjusted for a linear trend. When specified in the processing option, the forecast is also adjusted for seasonality. Alpha equals the smoothing constant that is used in calculating the smoothed average for the general level or magnitude of sales. Values for alpha range from 0 to 1. Beta equals the smoothing constant that is used in calculating the smoothed average for the trend component of the forecast. Values for beta range from 0 to 1. Whether a seasonal index is applied to the forecast. Alpha and beta are independent of one another. They do not have to sum to 1.0. Minimum required sales history: One year plus the number of time periods that are required to evaluate the forecast performance (periods of best fit). When two or more years of historical data is available, the system uses two years of data in the calculations. Method 12 uses two Exponential Smoothing equations and one simple average to calculate a smoothed average, a smoothed trend, and a simple average seasonal index. An exponentially smoothed average: An exponentially smoothed trend: A simple average seasonal index: Figure 3-3 Simple Average Seasonal Index The forecast is then calculated by using the results of the three equations: L is the length of seasonality (L equals 12 months or 52 weeks). t is the current time period. m is the number of time periods into the future of the forecast. S is the multiplicative seasonal adjustment factor that is indexed to the appropriate time period. This table lists history used in the forecast calculation: This section provides an overview of Forecast Evaluations and discusses: You can select forecasting methods to generate as many as 12 forecasts for each product. Each forecasting method might create a slightly different projection. When thousands of products are forecast, a subjective decision is impractical regarding which forecast to use in the plans for each product. The system automatically evaluates performance for each forecasting method that you select and for each product that you forecast. You can select between two performance criteria: MAD and POA. MAD is a measure of forecast error. POA is a measure of forecast bias. Both of these performance evaluation techniques require actual sales history data for a period specified by you. The period of recent history used for evaluation is called a holdout period or period of best fit. To measure the performance of a forecasting method, the system: Uses the forecast formulas to simulate a forecast for the historical holdout period. Makes a comparison between the actual sales data and the simulated forecast for the holdout period. When you select multiple forecast methods, this same process occurs for each method. Multiple forecasts are calculated for the holdout period and compared to the known sales history for that same period. The forecasting method that produces the best match (best fit) between the forecast and the actual sales during the holdout period is recommended for use in the plans. This recommendation is specific to each product and might change each time that you generate a forecast. 3.3.1 Mean Absolute Deviation Mean Absolute Deviation (MAD) is the mean (or average) of the absolute values (or magnitude) of the deviations (or errors) between actual and forecast data. MAD is a measure of the average magnitude of errors to expect, given a forecasting method and data history. Because absolute values are used in the calculation, positive errors do not cancel out negative errors. When comparing several forecasting methods, the one with the smallest MAD is the most reliable for that product for that holdout period. When the forecast is unbiased and errors are normally distributed, a simple mathematical relationship exists between MAD and two other common measures of distribution, which are standard deviation and Mean Squared Error. For example: MAD (Sigma (Actual) ndash (Forecast)) n Standard Deviation, (sigma) cong 1.25 MAD Mean Squared Error cong ndashsigma2 This example indicates the calculation of MAD for two of the forecasting methods. This example assumes that you have specified in the processing option that the holdout period length (periods of best fit) is equal to five periods. 3.3.1.1 Method 1: Last Year to This Year This table is history used in the calculation of MAD, given Periods of Best Fit 5: Mean Absolute Deviation equals (2 1 20 10 14) / 5 9.4. Based on these two choices, the Moving Average, n 4 method is recommended because it has the smaller MAD, 9.4, for the given holdout period. 3.3.2 Percent of Accuracy Percent of Accuracy (POA) is a measure of forecast bias. When forecasts are consistently too high, inventories accumulate and inventory costs rise. When forecasts are consistently too low, inventories are consumed and customer service declines. A forecast that is 10 units too low, then 8 units too high, then 2 units too high is an unbiased forecast. The positive error of 10 is canceled by negative errors of 8 and 2. (Error) (Actual) ndash (Forecast) When a product can be stored in inventory, and when the forecast is unbiased, a small amount of safety stock can be used to buffer the errors. In this situation, eliminating forecast errors is not as important as generating unbiased forecasts. However, in service industries, the previous situation is viewed as three errors. The service is understaffed in the first period, and then overstaffed for the next two periods. In services, the magnitude of forecast errors is usually more important than is forecast bias. POA (SigmaForecast sales during holdout period) / (SigmaActual sales during holdout period) times 100 percent The summation over the holdout period enables positive errors to cancel negative errors. When the total of forecast sales exceeds the total of actual sales, the ratio is greater than 100 percent. Of course, the forecast cannot be more than 100 percent accurate. When a forecast is unbiased, the POA ratio is 100 percent. A 95 percent accuracy rate is more desirable than a 110 percent accurate rate. The POA criterion selects the forecasting method that has a POA ratio that is closest to 100 percent. This example indicates the calculation of POA for two forecasting methods. This example assumes that you have specified in the processing option that the holdout period length (periods of best fit) is equal to five periods. 3.3.2.1 Method 1: Last Year to This Year This table is history used in the calculation of MAD, given Periods of Best Fit 5: 3.4.2 Forecast Accuracy These statistical laws govern forecast accuracy: A long term forecast is less accurate than a short term forecast because the further into the future you project the forecast, the more variables can affect the forecast. A forecast for a product family tends to be more accurate than a forecast for individual members of the product family. Some errors cancel each other as the forecasts for individual items summarize into the group, thus creating a more accurate forecast. 3.4.3 Forecast Considerations You should not rely exclusively on past data to forecast future demands. These circumstances might affect the business, and require you to review and modify the forecast: New products that have no past data. Plans for future sales promotion. Changes in national and international politics. New laws and government regulations. Weather changes and natural disasters. Innovations from competition. You can use long term trend analysis to influence the design of the forecasts: Leading economic indicators. 3.4.4 Forecasting Process You use the Refresh Actuals program (R3465) to copy data from the Sales Order History File table (F42119), the Sales Order Detail File table (F4211), or both, into either the Forecast File table (F3460) or the Forecast Summary File table (F3400), depending on the kind of forecast that you plan to generate. Scripting on this page enhances content navigation, but does not change the content in any way. Moving average and exponential smoothing models As a first step in moving beyond mean models, random walk models, and linear trend models, nonseasonal patterns and trends can be extrapolated using a moving-average or smoothing model. The basic assumption behind averaging and smoothing models is that the time series is locally stationary with a slowly varying mean. Hence, we take a moving (local) average to estimate the current value of the mean and then use that as the forecast for the near future. This can be considered as a compromise between the mean model and the random-walk-without-drift-model. The same strategy can be used to estimate and extrapolate a local trend. A moving average is often called a quotsmoothedquot version of the original series because short-term averaging has the effect of smoothing out the bumps in the original series. By adjusting the degree of smoothing (the width of the moving average), we can hope to strike some kind of optimal balance between the performance of the mean and random walk models. The simplest kind of averaging model is the. Simple (equally-weighted) Moving Average: The forecast for the value of Y at time t1 that is made at time t equals the simple average of the most recent m observations: (Here and elsewhere I will use the symbol 8220Y-hat8221 to stand for a forecast of the time series Y made at the earliest possible prior date by a given model.) This average is centered at period t-(m1)/2, which implies that the estimate of the local mean will tend to lag behind the true value of the local mean by about (m1)/2 periods. Thus, we say the average age of the data in the simple moving average is (m1)/2 relative to the period for which the forecast is computed: this is the amount of time by which forecasts will tend to lag behind turning points in the data. For example, if you are averaging the last 5 values, the forecasts will be about 3 periods late in responding to turning points. Note that if m1, the simple moving average (SMA) model is equivalent to the random walk model (without growth). If m is very large (comparable to the length of the estimation period), the SMA model is equivalent to the mean model. As with any parameter of a forecasting model, it is customary to adjust the value of k in order to obtain the best quotfitquot to the data, i. e. the smallest forecast errors on average. Here is an example of a series which appears to exhibit random fluctuations around a slowly-varying mean. First, lets try to fit it with a random walk model, which is equivalent to a simple moving average of 1 term: The random walk model responds very quickly to changes in the series, but in so doing it picks much of the quotnoisequot in the data (the random fluctuations) as well as the quotsignalquot (the local mean). If we instead try a simple moving average of 5 terms, we get a smoother-looking set of forecasts: The 5-term simple moving average yields significantly smaller errors than the random walk model in this case. The average age of the data in this forecast is 3 ((51)/2), so that it tends to lag behind turning points by about three periods. (For example, a downturn seems to have occurred at period 21, but the forecasts do not turn around until several periods later.) Notice that the long-term forecasts from the SMA model are a horizontal straight line, just as in the random walk model. Thus, the SMA model assumes that there is no trend in the data. However, whereas the forecasts from the random walk model are simply equal to the last observed value, the forecasts from the SMA model are equal to a weighted average of recent values . The confidence limits computed by Statgraphics for the long-term forecasts of the simple moving average do not get wider as the forecasting horizon increases. This is obviously not correct Unfortunately, there is no underlying statistical theory that tells us how the confidence intervals ought to widen for this model. However, it is not too hard to calculate empirical estimates of the confidence limits for the longer-horizon forecasts. For example, you could set up a spreadsheet in which the SMA model would be used to forecast 2 steps ahead, 3 steps ahead, etc. within the historical data sample. You could then compute the sample standard deviations of the errors at each forecast horizon, and then construct confidence intervals for longer-term forecasts by adding and subtracting multiples of the appropriate standard deviation. If we try a 9-term simple moving average, we get even smoother forecasts and more of a lagging effect: The average age is now 5 periods ((91)/2). If we take a 19-term moving average, the average age increases to 10: Notice that, indeed, the forecasts are now lagging behind turning points by about 10 periods. Which amount of smoothing is best for this series Here is a table that compares their error statistics, also including a 3-term average: Model C, the 5-term moving average, yields the lowest value of RMSE by a small margin over the 3-term and 9-term averages, and their other stats are nearly identical. So, among models with very similar error statistics, we can choose whether we would prefer a little more responsiveness or a little more smoothness in the forecasts. (Return to top of page.) Browns Simple Exponential Smoothing (exponentially weighted moving average) The simple moving average model described above has the undesirable property that it treats the last k observations equally and completely ignores all preceding observations. Intuitively, past data should be discounted in a more gradual fashion--for example, the most recent observation should get a little more weight than 2nd most recent, and the 2nd most recent should get a little more weight than the 3rd most recent, and so on. The simple exponential smoothing (SES) model accomplishes this. Let 945 denote a quotsmoothing constantquot (a number between 0 and 1). One way to write the model is to define a series L that represents the current level (i. e. local mean value) of the series as estimated from data up to the present. The value of L at time t is computed recursively from its own previous value like this: Thus, the current smoothed value is an interpolation between the previous smoothed value and the current observation, where 945 controls the closeness of the interpolated value to the most recent observation. The forecast for the next period is simply the current smoothed value: Equivalently, we can express the next forecast directly in terms of previous forecasts and previous observations, in any of the following equivalent versions. In the first version, the forecast is an interpolation between previous forecast and previous observation: In the second version, the next forecast is obtained by adjusting the previous forecast in the direction of the previous error by a fractional amount 945. is the error made at time t. In the third version, the forecast is an exponentially weighted (i. e. discounted) moving average with discount factor 1- 945: The interpolation version of the forecasting formula is the simplest to use if you are implementing the model on a spreadsheet: it fits in a single cell and contains cell references pointing to the previous forecast, the previous observation, and the cell where the value of 945 is stored. Note that if 945 1, the SES model is equivalent to a random walk model (without growth). If 945 0, the SES model is equivalent to the mean model, assuming that the first smoothed value is set equal to the mean. (Return to top of page.) The average age of the data in the simple-exponential-smoothing forecast is 1/ 945 relative to the period for which the forecast is computed. (This is not supposed to be obvious, but it can easily be shown by evaluating an infinite series.) Hence, the simple moving average forecast tends to lag behind turning points by about 1/ 945 periods. For example, when 945 0.5 the lag is 2 periods when 945 0.2 the lag is 5 periods when 945 0.1 the lag is 10 periods, and so on. For a given average age (i. e. amount of lag), the simple exponential smoothing (SES) forecast is somewhat superior to the simple moving average (SMA) forecast because it places relatively more weight on the most recent observation --i. e. it is slightly more quotresponsivequot to changes occuring in the recent past. For example, an SMA model with 9 terms and an SES model with 945 0.2 both have an average age of 5 for the data in their forecasts, but the SES model puts more weight on the last 3 values than does the SMA model and at the same time it doesn8217t entirely 8220forget8221 about values more than 9 periods old, as shown in this chart: Another important advantage of the SES model over the SMA model is that the SES model uses a smoothing parameter which is continuously variable, so it can easily optimized by using a quotsolverquot algorithm to minimize the mean squared error. The optimal value of 945 in the SES model for this series turns out to be 0.2961, as shown here: The average age of the data in this forecast is 1/0.2961 3.4 periods, which is similar to that of a 6-term simple moving average. The long-term forecasts from the SES model are a horizontal straight line . as in the SMA model and the random walk model without growth. However, note that the confidence intervals computed by Statgraphics now diverge in a reasonable-looking fashion, and that they are substantially narrower than the confidence intervals for the random walk model. The SES model assumes that the series is somewhat quotmore predictablequot than does the random walk model. An SES model is actually a special case of an ARIMA model. so the statistical theory of ARIMA models provides a sound basis for calculating confidence intervals for the SES model. In particular, an SES model is an ARIMA model with one nonseasonal difference, an MA(1) term, and no constant term . otherwise known as an quotARIMA(0,1,1) model without constantquot. The MA(1) coefficient in the ARIMA model corresponds to the quantity 1- 945 in the SES model. For example, if you fit an ARIMA(0,1,1) model without constant to the series analyzed here, the estimated MA(1) coefficient turns out to be 0.7029, which is almost exactly one minus 0.2961. It is possible to add the assumption of a non-zero constant linear trend to an SES model. To do this, just specify an ARIMA model with one nonseasonal difference and an MA(1) term with a constant, i. e. an ARIMA(0,1,1) model with constant. The long-term forecasts will then have a trend which is equal to the average trend observed over the entire estimation period. You cannot do this in conjunction with seasonal adjustment, because the seasonal adjustment options are disabled when the model type is set to ARIMA. However, you can add a constant long-term exponential trend to a simple exponential smoothing model (with or without seasonal adjustment) by using the inflation adjustment option in the Forecasting procedure. The appropriate quotinflationquot (percentage growth) rate per period can be estimated as the slope coefficient in a linear trend model fitted to the data in conjunction with a natural logarithm transformation, or it can be based on other, independent information concerning long-term growth prospects. (Return to top of page.) Browns Linear (i. e. double) Exponential Smoothing The SMA models and SES models assume that there is no trend of any kind in the data (which is usually OK or at least not-too-bad for 1-step-ahead forecasts when the data is relatively noisy), and they can be modified to incorporate a constant linear trend as shown above. What about short-term trends If a series displays a varying rate of growth or a cyclical pattern that stands out clearly against the noise, and if there is a need to forecast more than 1 period ahead, then estimation of a local trend might also be an issue. The simple exponential smoothing model can be generalized to obtain a linear exponential smoothing (LES) model that computes local estimates of both level and trend. The simplest time-varying trend model is Browns linear exponential smoothing model, which uses two different smoothed series that are centered at different points in time. The forecasting formula is based on an extrapolation of a line through the two centers. (A more sophisticated version of this model, Holt8217s, is discussed below.) The algebraic form of Brown8217s linear exponential smoothing model, like that of the simple exponential smoothing model, can be expressed in a number of different but equivalent forms. The quotstandardquot form of this model is usually expressed as follows: Let S denote the singly-smoothed series obtained by applying simple exponential smoothing to series Y. That is, the value of S at period t is given by: (Recall that, under simple exponential smoothing, this would be the forecast for Y at period t1.) Then let Squot denote the doubly-smoothed series obtained by applying simple exponential smoothing (using the same 945 ) to series S: Finally, the forecast for Y tk . for any kgt1, is given by: This yields e 1 0 (i. e. cheat a bit, and let the first forecast equal the actual first observation), and e 2 Y 2 8211 Y 1 . after which forecasts are generated using the equation above. This yields the same fitted values as the formula based on S and S if the latter were started up using S 1 S 1 Y 1 . This version of the model is used on the next page that illustrates a combination of exponential smoothing with seasonal adjustment. Holt8217s Linear Exponential Smoothing Brown8217s LES model computes local estimates of level and trend by smoothing the recent data, but the fact that it does so with a single smoothing parameter places a constraint on the data patterns that it is able to fit: the level and trend are not allowed to vary at independent rates. Holt8217s LES model addresses this issue by including two smoothing constants, one for the level and one for the trend. At any time t, as in Brown8217s model, the there is an estimate L t of the local level and an estimate T t of the local trend. Here they are computed recursively from the value of Y observed at time t and the previous estimates of the level and trend by two equations that apply exponential smoothing to them separately. If the estimated level and trend at time t-1 are L t82091 and T t-1 . respectively, then the forecast for Y tshy that would have been made at time t-1 is equal to L t-1 T t-1 . When the actual value is observed, the updated estimate of the level is computed recursively by interpolating between Y tshy and its forecast, L t-1 T t-1, using weights of 945 and 1- 945. The change in the estimated level, namely L t 8209 L t82091 . can be interpreted as a noisy measurement of the trend at time t. The updated estimate of the trend is then computed recursively by interpolating between L t 8209 L t82091 and the previous estimate of the trend, T t-1 . using weights of 946 and 1-946: The interpretation of the trend-smoothing constant 946 is analogous to that of the level-smoothing constant 945. Models with small values of 946 assume that the trend changes only very slowly over time, while models with larger 946 assume that it is changing more rapidly. A model with a large 946 believes that the distant future is very uncertain, because errors in trend-estimation become quite important when forecasting more than one period ahead. (Return to top of page.) The smoothing constants 945 and 946 can be estimated in the usual way by minimizing the mean squared error of the 1-step-ahead forecasts. When this done in Statgraphics, the estimates turn out to be 945 0.3048 and 946 0.008 . The very small value of 946 means that the model assumes very little change in the trend from one period to the next, so basically this model is trying to estimate a long-term trend. By analogy with the notion of the average age of the data that is used in estimating the local level of the series, the average age of the data that is used in estimating the local trend is proportional to 1/ 946, although not exactly equal to it. In this case that turns out to be 1/0.006 125. This isn8217t a very precise number inasmuch as the accuracy of the estimate of 946 isn8217t really 3 decimal places, but it is of the same general order of magnitude as the sample size of 100, so this model is averaging over quite a lot of history in estimating the trend. The forecast plot below shows that the LES model estimates a slightly larger local trend at the end of the series than the constant trend estimated in the SEStrend model. Also, the estimated value of 945 is almost identical to the one obtained by fitting the SES model with or without trend, so this is almost the same model. Now, do these look like reasonable forecasts for a model that is supposed to be estimating a local trend If you 8220eyeball8221 this plot, it looks as though the local trend has turned downward at the end of the series What has happened The parameters of this model have been estimated by minimizing the squared error of 1-step-ahead forecasts, not longer-term forecasts, in which case the trend doesn8217t make a lot of difference. If all you are looking at are 1-step-ahead errors, you are not seeing the bigger picture of trends over (say) 10 or 20 periods. In order to get this model more in tune with our eyeball extrapolation of the data, we can manually adjust the trend-smoothing constant so that it uses a shorter baseline for trend estimation. For example, if we choose to set 946 0.1, then the average age of the data used in estimating the local trend is 10 periods, which means that we are averaging the trend over that last 20 periods or so. Here8217s what the forecast plot looks like if we set 946 0.1 while keeping 945 0.3. This looks intuitively reasonable for this series, although it is probably dangerous to extrapolate this trend any more than 10 periods in the future. What about the error stats Here is a model comparison for the two models shown above as well as three SES models. The optimal value of 945.for the SES model is approximately 0.3, but similar results (with slightly more or less responsiveness, respectively) are obtained with 0.5 and 0.2. (A) Holts linear exp. smoothing with alpha 0.3048 and beta 0.008 (B) Holts linear exp. smoothing with alpha 0.3 and beta 0.1 (C) Simple exponential smoothing with alpha 0.5 (D) Simple exponential smoothing with alpha 0.3 (E) Simple exponential smoothing with alpha 0.2 Their stats are nearly identical, so we really can8217t make the choice on the basis of 1-step-ahead forecast errors within the data sample. We have to fall back on other considerations. If we strongly believe that it makes sense to base the current trend estimate on what has happened over the last 20 periods or so, we can make a case for the LES model with 945 0.3 and 946 0.1. If we want to be agnostic about whether there is a local trend, then one of the SES models might be easier to explain and would also give more middle-of-the-road forecasts for the next 5 or 10 periods. (Return to top of page.) Which type of trend-extrapolation is best: horizontal or linear Empirical evidence suggests that, if the data have already been adjusted (if necessary) for inflation, then it may be imprudent to extrapolate short-term linear trends very far into the future. Trends evident today may slacken in the future due to varied causes such as product obsolescence, increased competition, and cyclical downturns or upturns in an industry. For this reason, simple exponential smoothing often performs better out-of-sample than might otherwise be expected, despite its quotnaivequot horizontal trend extrapolation. Damped trend modifications of the linear exponential smoothing model are also often used in practice to introduce a note of conservatism into its trend projections. The damped-trend LES model can be implemented as a special case of an ARIMA model, in particular, an ARIMA(1,1,2) model. It is possible to calculate confidence intervals around long-term forecasts produced by exponential smoothing models, by considering them as special cases of ARIMA models. (Beware: not all software calculates confidence intervals for these models correctly.) The width of the confidence intervals depends on (i) the RMS error of the model, (ii) the type of smoothing (simple or linear) (iii) the value(s) of the smoothing constant(s) and (iv) the number of periods ahead you are forecasting. In general, the intervals spread out faster as 945 gets larger in the SES model and they spread out much faster when linear rather than simple smoothing is used. This topic is discussed further in the ARIMA models section of the notes. (Return to top of page.)
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